Hallo liebe Leser,
ich weiß, ihr seid nicht alle Mathematiker, aber ich vermute, ich habe einen Fehler gefunden in einem alten mathematischen Problem. Bitte nehmt euch ein paar Minuten Zeit, dies nachzuvollziehen und mir ggf. meinem Irrtum aufzuzeigen.
Nicht, dass das Ganze nur der Coronafieberwahn ist…
Ich erstelle gerade den Beweis, dass die Kontinuumshyphotese – https://de.wikipedia.org/wiki/Kontinuumshypothese -unnötig ist. Also, kurz gesagt es gibt keine überabzählbaren Zahlenräume und somit keine unendlichen Zahlenräume, die größer sind als andere unendliche Zahlenräume.
Georg Cantor hat dies jedoch in den 1870ern bewiesen, z.B. mit dem zweiten Cantorschen Diagonalargument. https://de.wikipedia.org/…/Cantors_zweites…
Es wurde mittlerweile bewiesen, dass die Kontinuumshypothese in der Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre weder beweisbar, noch widerlegbar ist. Der Grund dafür könnte sein, dass sie an sich irrelevant ist. Wie auch immer,…
https://de.wikipedia.org/wiki/Georg_Cantor – Georg Cantor und anscheinend viele Mathematiker der Neuzeit gehen davon aus, dass es keine 1 zu 1 – Abbildung(Bijektion) einer reelen Zahl mit einer natürlichen Zahl geben kann. Daraus leiten sie ab, dass die Menge der natürlichen Zahlen kleiner sein muss als die Menge der reelen Zahlen. Das nennt man Überabzählbarkeit.
Um zu zeigen, dass es keine Überabzählbarkeit gibt, muss zu jeder Zahl R eine Abbildung im Raum der natürlichen Zahlen N existieren.
So, und hier meine naive Betrachtungsweise des Problems:
Bisherige Annahme, Beweis der Überzählbarkeit:
Die reelen Zahlen lassen sich nicht 1 zu 1 mit einer natürlichen Zahl darstellen
R -> N
0 -> 0
1 -> 1
2 -> 2
. . .
Zwischen den Zahlen 0 und 1 liegen im Bereich der reelen Zahlen unendlich viele weitere Zahlen. 0,1 0,2 0,001 0,99999 usw. Halt unendlich viele.
Zu jeder Zahl im Raum N muss es also unendlich viele Zuordnungen geben zwischen den einzelnen ganzen Zahlen.
Lösung:
Um zu Zeigen, dass der Zahlenraum der natürlichen Zahlen gleich groß ist, benötigt man für jede reele Zahl eine entsprechende Abbildung im natürlichen Zahlenraum.
Ansatz:
Unter Zuhilfenahme der binären Zählweise, kann man jeder reelen Zahl eine entsprechende natürliche Zahl zuordnen.
Sei (Ri) eine beliebige Folge reeler Zahlen im offenen Interval (0,1). Und N eine Zahl im natürlichen Zahlenraum.
Ich werde hier zeigen, dass es zu jeder reelen Zahl eine natürliche Zahl im Intervall 0 bis 1 gibt.
R N
0 <-> 1
0,1 <-> 1 1000
0,2 <-> 1 0100
0,3 <-> 1 1100
0,4 <-> 1 0010
0,5 <-> 1 1010
0,6 <-> 1 0110
0,7 <-> 1 1110
0,8 <-> 1 0001
0,9 <-> 1 1001
0,01 <-> 1 1111 1000
0,02 <-> 1 1111 0100
0,03 <-> 1 1111 1100
0,04 <-> 1 1111 0010
0,05 <-> 1 1111 1010
0,06 <-> 1 1111 0110
0,07 <-> 1 1111 1110
0,08 <-> 1 1111 0001
0,09 <-> 1 1111 1001
0,001 <-> 1 1111 1111 1000
0,111 <-> 1 1000 1000 1000
0,999 <-> 1 1001 1001 1001
0,123456789 <-> 1 1000 0100 1100 0010 1010 0110 1110 0001 1001
0,1°(Periode) <-> 1 (1000)° (Die 1000 wiederholt sich unendlich oft.)
…
Schön und gut?
Für den Zahlenbereich 0 und 1 sollte das als Beweis genügen.
Oder gibt es hier bereits einen Fehler?
Sei (Ri) eine beliebige Folge reeler Zahlen im offenen Interval (0,∞).
Und N eine Zahl im natürlichen Zahlenraum. Hier wird das ganze leider komplexer, aber was soll es. Da wir uns im natürlichen Zahlenraum nicht auf die Ziffern 0 und 1 beschränken müssen, wählen wir für die Zahl vor dem Komma einfach eine andere Kombination aus und verhindern so, dass es zu ungewollten Wiederholungen kommt.
0 <-> 2222
0,1 <-> 2222 1000
0,123456789 <-> 2222 1000 0100 1100 0010 1010 0110 1110 0001 1001
0,1°(Periode) <-> 2222 (1000)° (Die 1000 wiederholt sich unendlich oft.)
1 <-> 2333
1,1 <-> 2333 1000
1,11 <-> 2333 1000 1000
1,101 <-> 2333 1000 1111 0000
1,011 <-> 2333 1111 1000 1000
1,1111 <-> 2333 1000 1000 1000 1000
2 <-> 3233
2,1 <-> 3233 1000
9 <-> 2331
9,1 <-> 2331 1000
99 <-> 3322 2332
99,99 <-> 3322 2332 1001 1001
99,1 <-> 3322 2332 1000
Die Vorkommazahl wächst mit einer 2er und 3er Kombination immer weiter und die Zahl nach dem Komma wird weiterhin präsentiert durch 1 und 0. Das kann Unendlich fortgeführt werden und durch einen trivialen Algorithmus mit einem Computer berechnet werden. Das bloße Verständnis der binären Zählweise und der kleine Kniff der Erweiterung um 2 weitere Zahlen zusätzlich zu der 0 und 1 sollte jedoch hinreichend als Beweis gelten.
Ich behaupte also, alle Beweise für eine Überabzählbarkeit des reelen Zahlenraums sind falsch! Da muss nochmal Nachgerechnet werden. Irrtümer meinerseits sind leider nicht ausgeschlossen, aber Irrtümer anderer auch nicht… Errare human est und da hört mein Latein auch schon auf.